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求极限：（1）lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^2x-2(e)^x+1}({x)^2cos x}；（2）lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^2x-2(e)^x+1}({x)^2cos x}；（3）lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^2x-2(e)^x+1}({x)^2cos x}；（4）lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^2x-2(e)^x+1}({x)^2cos x}。

求极限：

（1） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-2e^x+1}{x^2\cos x}$ ；

（2） $\lim_{x\rightarrow0^+}x^{\frac{1}{1+\ln x}}$ ；

（3） $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$ ；

（4） $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{\tan^2x}-\frac{1}{x^2}\right)$ 。

题目解答

答案

（1） $\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-2e^x+1}{x^2\cos x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(e^x-1\right)^2}{x^2\cos x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x^2\cos x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x}$

$=1$

（2） $\lim_{x\rightarrow0^+}x^{\frac{1}{1+\ln x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{\ln x}{1+\ln x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^1$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e$

（3） $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{1-\cos x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{\frac{x}{\sin x}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}{\sin x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin^2x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{\cos x-x\sin x-\cos x}{3x^2}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{-x\sin x}{3x^2}}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\frac{-x^2}{3x^2}}$

$=e^{-\frac{1}{3}}$

（4） $\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{\tan^2x}-\frac{1}{x^2}\right)$ $=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2-\tan^2x}{x^2\tan^2x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2-\tan^2x}{x^4}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(x-\tan x\right)\left(x+\tan x\right)}{x^4}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\tan x}{x^3}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+\tan x}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\sec^2x}{3x^2}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\frac{\tan x}{x}\right)$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\tan^2x}{3x^2}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\left(1+1\right)$

$=2\lim_{x\rightarrow0}\frac{-x^2}{3x^2}$

$=2\times\left(-\frac{1}{3}\right)$

$=-\frac{2}{3}$

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