16.（单选题，2.0分） 对于二元函数z=f(x，y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）A. 偏导数存在，则全微分存在B. 偏导数连续，则全微分必存在C. 全微分存在，则偏导数必连续D. 全微分存在，而偏导数不一定存在

本题考查二元函数偏导数与全微分的关系，解题思路是根据二元函数偏导数与全微分的相关定理和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

偏导数存在只是全微分存在的必要条件而非充分条件。也就是说，仅仅偏导数存在，并不能保证全微分一定存在。例如函数$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$，在点$(0,0)$处两个偏导数$f_{x}(0,0)$和$f_{y}(0,0)$都存在，但是该函数在点$(0,0)$处全微分不存在。所以选项A错误。

选项B

根据二元函数全微分存在的充分条件定理：如果函数$z = f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$在点$(x,y)$及其某邻域内存在且连续，则函数$z = f(x,y)$在该点可微，即可全微分存在。所以偏导数连续时，全微分必存在，选项B正确。

选项C

全微分存在只能推出偏导数存在，但不能推出偏导数连续。例如函数$f(x,y)=\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}$，在点$(0,0)$处全微分存在，但偏导数在该点不连续。所以选项C错误。

选项D

若全微分$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$存在，根据全微分的定义，当$\Delta x\to0$，$\Delta y\to0$时，$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}})$，其中$A,B$与$\Delta x,\Delta y$无关。令$\Delta y = 0$，则$\Delta z = f(x+\Delta x,y)-f(x,y)=A\Delta x+o(\vert\Delta x\vert)$，两边同时除以$\Delta x$并取极限$\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=A$，即$\frac{\partial z}{\partial x}$存在；同理令$\Delta x = 0$，可得$\frac{\partial z}{\partial y}$存在。所以全微分存在时，偏导数一定存在，选项D错误。