修建一个容积为常量V的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍．问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小．

步骤 1：定义变量
设长方体地下仓库的长、宽、高分别为x、y、z，地面每单位面积造价为a，则仓顶每单位面积造价为3a，墙壁每单位面积造价为2a。仓库的容积为常量V，即V = xyz。

步骤 2：建立造价函数
仓库的造价由地面、仓顶和墙壁三部分组成。地面面积为xy，仓顶面积也为xy，墙壁面积为2xz + 2yz。因此，总造价C可以表示为：
\[ C = a(xy) + 3a(xy) + 2a(2xz + 2yz) = 4axy + 4a(xz + yz) \]

步骤 3：利用容积约束进行代换
由于V = xyz，可以将z表示为z = V/(xy)，代入造价函数中，得到：
\[ C = 4axy + 4a(x\frac{V}{xy} + y\frac{V}{xy}) = 4axy + 4a(\frac{V}{y} + \frac{V}{x}) \]

步骤 4：求导数并求极值
为了使造价最小，需要对C关于x和y求偏导数，并令其等于0。首先对x求偏导数：
\[ \frac{\partial C}{\partial x} = 4ay - 4a\frac{V}{x^2} = 0 \]
解得：\[ x^2 = \frac{V}{y} \]
同理，对y求偏导数：
\[ \frac{\partial C}{\partial y} = 4ax - 4a\frac{V}{y^2} = 0 \]
解得：\[ y^2 = \frac{V}{x} \]

步骤 5：求解x、y、z
由步骤4的两个方程，可以解得x = y = z，即长、宽、高相等。将x = y = z代入容积公式V = xyz，得到：
\[ V = x^3 \]
解得：\[ x = y = z = \sqrt[3]{V} \]