对于事件 A，B，下列命题正确的是( )A. 若 A，B 互不相容，则 overline(A) 与 overline(B) 也互不相容.B. 若 A，B 相容，那么 overline(A) 与 overline(B) 也相容.C. 若 A，B 互不相容，且概率都大于零，则 A，B 也相互独立.D. 若 A，B 相互独立，那么 overline(A) 与 overline(B) 也相互独立.
对于事件 A，B，下列命题正确的是( ) A. 若 A，B 互不相容，则 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也互不相容. B. 若 A，B 相容，那么 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相容. C. 若 A，B 互不相容，且概率都大于零，则 A，B 也相互独立. D. 若 A，B 相互独立，那么 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立.
题目解答
答案
我们来逐个分析选项，判断哪个命题是正确的。
首先明确几个基本概念：
-
互不相容（互斥）：两个事件 A 和 B 不能同时发生，即
$A \cap B = \emptyset$ -
相容：两个事件 可以同时发生，即
$A \cap B \neq \emptyset$ -
独立：两个事件 A 和 B 相互独立，是指
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ -
对立事件：$\overline{A}$ 表示事件 A 的对立事件，即 A 不发生。
逐项分析选项：
A. 若 A，B 互不相容，则 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也互不相容。
分析：
A 和 B 互不相容，表示 $A \cap B = \emptyset$。
我们来考虑 $\overline{A} \cap \overline{B}$，即 A 不发生 且 B 不发生。
这表示的是 A 和 B 都不发生，这在很多情况下是可能的，比如 A 是“掷出1点”，B 是“掷出2点”，那么 A 和 B 互不相容，但 $\overline{A} \cap \overline{B}$ 表示掷出的点数既不是1也不是2，比如是3，这是可能的。
所以 $\overline{A} \cap \overline{B} \neq \emptyset$，即 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 可以同时发生，不是互不相容的。
结论：A 是错误的。
B. 若 A，B 相容，那么 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相容。
分析：
A 和 B 相容，表示 $A \cap B \neq \emptyset$，即 A 和 B 可以同时发生。
我们来考虑 $\overline{A} \cap \overline{B}$，即 A 不发生 且 B 不发生。
这在某些情况下是可能的，但不能保证一定相容。例如：
设 A 是“掷出1点”，B 是“掷出2点”，那么 A 和 B 相容吗？不相容，所以这个例子不合适。
再换一个例子：
设 A 是“掷出偶数点”，B 是“掷出小于4的点”，那么 A 和 B 是相容的（比如掷出2点），那么 $\overline{A}$ 是“奇数点”，$\overline{B}$ 是“4或5或6”，它们的交集是“5”，也是可能的，即 $\overline{A} \cap \overline{B} \neq \emptyset$。
但再举一个反例：
设 A 是“掷出1点”，B 是“掷出1点”，那么 A 和 B 是相容的（因为它们完全一样），但 $\overline{A} \cap \overline{B}$ 就是“不掷出1点”，即 A 和 B 都不发生，显然这个事件是可能的。
所以，虽然 A 和 B 相容，但 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 不一定相容，也有可能互不相容。
结论：B 是错误的。
C. 若 A，B 互不相容，且概率都大于零，则 A，B 也相互独立。
分析：
互不相容意味着 $A \cap B = \emptyset$，所以
$P(A \cap B) = 0$
如果 A 和 B 相互独立，应该满足
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
但 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$，所以 $P(A) \cdot P(B) > 0$，不可能等于 0。
所以互不相容的两个事件 不可能相互独立（除非其中一个事件的概率为0）。
结论：C 是错误的。
D. 若 A，B 相互独立，那么 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立。
分析：
已知 A 和 B 相互独立，即
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
我们来证明 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立。
我们用对立事件的性质来推导：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$
又因为：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
所以：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$
又因为 A 和 B 独立，所以 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$，代入得：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B)$
另一方面，我们计算 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 的概率：
- $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
- $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$
所以：
$P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B)$
与前面的表达式相同，所以：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$
因此，$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立。
结论：D 是正确的。
✅ 正确答案是：D
最终答案：
$\boxed{D}$
解析
考查要点：本题主要考查事件的互斥、相容、独立性以及对立事件的关系，需要结合概率的基本性质进行逻辑推理。
解题核心思路：
- 互斥与对立事件的关系：互斥事件的对立事件不一定互斥，需通过具体例子验证。
- 相容性与对立事件的关系：相容事件的对立事件可能互斥，需构造反例判断。
- 独立性的传递性：独立事件的对立事件是否保持独立，需通过概率公式推导验证。
破题关键点：
- 互斥事件的对立事件可能相容（选项A错误）。
- 相容事件的对立事件可能互斥（选项B错误）。
- 互斥事件不可能独立（概率均大于零时）（选项C错误）。
- 独立事件的对立事件仍独立（选项D正确）。
选项A分析
若$A$与$B$互不相容，则$A \cap B = \emptyset$。此时$\overline{A} \cap \overline{B}$表示“$A$和$B$都不发生”，在样本空间中可能存在这样的结果（例如掷骰子时$A$为“1点”，$B$为“2点”，则$\overline{A} \cap \overline{B}$包含“3,4,5,6点”）。因此$\overline{A}$与$\overline{B}$不互斥，选项A错误。
选项B分析
若$A$与$B$相容，则$A \cap B \neq \emptyset$。但$\overline{A} \cap \overline{B}$是否非空需具体分析。例如，设样本空间为$\{1,2,3\}$，$A=\{1,2\}$，$B=\{2,3\}$，则$A$与$B$相容（交集为$\{2\}$），但$\overline{A}=\{3\}$，$\overline{B}=\{1\}$，交集为空，故$\overline{A}$与$\overline{B}$互斥。选项B错误。
选项C分析
若$A$与$B$互不相容，则$P(A \cap B)=0$。若$A$与$B$独立，需满足$P(A) \cdot P(B) = 0$，但题目中$P(A)>0$且$P(B)>0$，矛盾。因此互不相容事件不可能独立，选项C错误。
选项D分析
若$A$与$B$独立，则$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$。验证$\overline{A}$与$\overline{B}$是否独立：
$\begin{aligned}P(\overline{A} \cap \overline{B}) &= 1 - P(A \cup B) \\&= 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)] \\&= 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B) \\P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) &= (1 - P(A))(1 - P(B)) \\&= 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B)\end{aligned}$
两者相等，故$\overline{A}$与$\overline{B}$独立，选项D正确。