题目
3.微分方程 '-4y'-5y=(e)^-x+sin 5x 的特解形式为 ()-|||-A. (e)^-x+bsin 5x B. (e)^-x+bcos 5x+csin 5x-|||-C. (e)^-x+bsin 5x D. (e)^-x+bcos 5x+csin 5x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定齐次方程的特征方程
微分方程 $y''-4y'-5y=0$ 的特征方程为 $r^2-4r-5=0$，解得 $r_1=5$ 和 $r_2=-1$。因此，齐次方程的通解为 $y_h=C_1e^{5x}+C_2e^{-x}$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次方程 $y''-4y'-5y=e^{-x}+\sin 5x$ 的特解形式需要考虑 $e^{-x}$ 和 $\sin 5x$ 的形式。由于 $e^{-x}$ 是齐次方程的解，所以特解形式中 $e^{-x}$ 需要乘以 $x$，即 $ax{e}^{-x}$。对于 $\sin 5x$，特解形式为 $b\cos 5x+c\sin 5x$。因此，特解形式为 $ax{e}^{-x}+b\cos 5x+c\sin 5x$。
步骤 3：验证特解形式
将特解形式 $ax{e}^{-x}+b\cos 5x+c\sin 5x$ 代入原方程，验证其是否满足方程。由于 $e^{-x}$ 是齐次方程的解，所以特解形式中 $e^{-x}$ 需要乘以 $x$，即 $ax{e}^{-x}$。对于 $\sin 5x$，特解形式为 $b\cos 5x+c\sin 5x$。因此，特解形式为 $ax{e}^{-x}+b\cos 5x+c\sin 5x$。
微分方程 $y''-4y'-5y=0$ 的特征方程为 $r^2-4r-5=0$，解得 $r_1=5$ 和 $r_2=-1$。因此，齐次方程的通解为 $y_h=C_1e^{5x}+C_2e^{-x}$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次方程 $y''-4y'-5y=e^{-x}+\sin 5x$ 的特解形式需要考虑 $e^{-x}$ 和 $\sin 5x$ 的形式。由于 $e^{-x}$ 是齐次方程的解，所以特解形式中 $e^{-x}$ 需要乘以 $x$，即 $ax{e}^{-x}$。对于 $\sin 5x$，特解形式为 $b\cos 5x+c\sin 5x$。因此，特解形式为 $ax{e}^{-x}+b\cos 5x+c\sin 5x$。
步骤 3：验证特解形式
将特解形式 $ax{e}^{-x}+b\cos 5x+c\sin 5x$ 代入原方程，验证其是否满足方程。由于 $e^{-x}$ 是齐次方程的解，所以特解形式中 $e^{-x}$ 需要乘以 $x$，即 $ax{e}^{-x}$。对于 $\sin 5x$，特解形式为 $b\cos 5x+c\sin 5x$。因此，特解形式为 $ax{e}^{-x}+b\cos 5x+c\sin 5x$。