设 alpha_(1)=} 0 1 0 线性表出，且表示方式不唯一

本题考查向量组线性相关与线性表出的知识。解题思路是通过判断向量组构成的矩阵的秩与向量个数的关系来确定向量组是否线性相关，若向量组线性相关，再进一步分析向量能否由其他向量线性表出。

1. 明确向量组线性相关的判定方法

对于向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，若存在不全为零的数$k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$，使得$k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots +k_{s}\alpha_{s}=0$成立，则称向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关。向量组线性相关的充要条件是向量组构成的矩阵$A = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})$的秩$r(A)\lt{}s$。

2. 分析选项A

当$a = 0$时，向量组$\alpha_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\alpha_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\alpha_{3}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，构成矩阵$A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
对矩阵$A$进行初等行变换，第二行乘以$-2$加到第一行可得：
$A\sim\begin{pmatrix} 0 & 0 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
此时矩阵$A$的非零行有$2$行，所以$r(A)=2\lt{}3$（向量个数），根据向量组线性相关的判定定理可知，向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性相关，故选项A正确。

3. 分析选项B

当$a\neq0$时，向量组构成矩阵$A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$。
因为矩阵$A$的第三行非零，且第一行和第二行线性无关，所以$r(A)=3$（向量个数），根据向量组线性相关的判定定理可知，向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，故选项B错误。

4. 分析选项C

当$a = 1$时，由选项B的分析可知，此时$r(A)=3$（向量个数），向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，故选项C错误。

5. 分析选项D

当$a = 0$时，设$\alpha_{3}=x\alpha_{1}+y\alpha_{2}$，即$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2y \\ x + y \\ 0 \end{pmatrix}$，可得方程组$\begin{cases}2y=-2\\x + y = 1\end{cases}$。
由$2y=-2$可得$y = -1$，将$y = -1$代入$x + y = 1$可得$x - 1 = 1$，解得$x = 2$。
所以$\alpha_{3}=2\alpha_{1}-\alpha_{2}$，表示方式唯一，故选项D错误。