题目

设X~N(0,1)，求：P(X<2.35)，P(X<-3.03)，P(|X|≤1.54)

设X~N(0,1)，求：P{X<2.35}，P{X<-3.03}，P{|X|≤1.54}

题目解答

答案

设 $X \sim N(0,1)$，利用标准正态分布表： 1. $P\{X < 2.35\} = \Phi(2.35) \approx 0.9906$ 2. $P\{X < -3.03\} = \Phi(-3.03) = 1 - \Phi(3.03) \approx 1 - 0.9988 = 0.0012$ 3. $P\{|X| \leq 1.54\} = 2\Phi(1.54) - 1 \approx 2 \times 0.9382 - 1 = 0.8764$ \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & 0.9906 \\ 2. & 0.0012 \\ 3. & 0.8764 \\ \end{array} } \]

解析

本题考查标准正态分布的概率计算，解题的关键在于利用标准正态分布的性质以及标准正态分布表来求解不同区间的概率。

1. 计算 $P\{X \lt 2.35\}$

若 $X\sim N(0,1)$，则 $P\{X \lt x\}=\varPhi(x)$，其中 $\varPhi(x)$ 是标准正态分布的分布函数。
对于 $P\{X \lt 2.35\}$，直接根据上述性质可得 $P\{X \lt 2.35\}=\varPhi(2.35)$。
查标准正态分布表，可得 $\varPhi(2.35)\approx 0.9906$。

2. 计算 $P\{X \lt -3.03\}$

同样因为 $X\sim N(0,1)$，所以 $P\{X \lt -3.03\}=\varPhi(-3.03)$。
根据标准正态分布的性质：$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，则 $\varPhi(-3.03)=1 - \varPhi(3.03)$。
查标准正态分布表，可得 $\varPhi(3.03)\approx 0.9988$。
所以 $P\{X \lt -3.03\}=1 - 0.9988 = 0.0012$。

3. 计算 $P\{|X| \leq 1.54\}$

首先对 $P\{|X| \leq 1.54\}$ 进行化简，根据绝对值不等式的性质可得 $P\{|X| \leq 1.54\}=P\{-1.54\leq X\leq 1.54\}$。
再根据概率的性质 $P\{-1.54\leq X\leq 1.54\}=P\{X\leq 1.54\}-P\{X \lt -1.54\}$。
因为 $P\{X\leq 1.54\}=\varPhi(1.54)$，$P\{X \lt -1.54\}=\varPhi(-1.54)$，且 $\varPhi(-1.54)=1 - \varPhi(1.54)$。
所以 $P\{|X| \leq 1.54\}=\varPhi(1.54)-(1 - \varPhi(1.54))$
$=\varPhi(1.54)-1+\varPhi(1.54)=2\varPhi(1.54)-1$。
查标准正态分布表，可得 $\varPhi(1.54)\approx 0.9382$。
则 $P\{|X| \leq 1.54\}=2\times 0.9382 - 1$
$=1.8764 - 1 = 0.8764$。