题目
9. (3.0分) 一阶线性微分方程(dy)/(dx)+y=e^-x的通解为_____.
9. (3.0分) 一阶线性微分方程$\frac{dy}{dx}+y=e^{-x}$的通解为_____.
题目解答
答案
为了求解一阶线性微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 的通解，我们可以使用积分因子法。下面将分步骤进行解答。
### 步骤1：识别方程形式
给定的方程是:
\[
\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}
\]
这是一阶线性微分方程，可以写成标准形式:
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
\]
其中 $P(x) = 1$ 和 $Q(x) = e^{-x}$。
### 步骤2：计算积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出:
\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}
\]
代入 $P(x) = 1$，我们得到:
\[
\mu(x) = e^{\int 1 \, dx} = e^x
\]
### 步骤3：将方程乘以积分因子
将原方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 两边乘以 $\mu(x) = e^x$:
\[
e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x e^{-x}
\]
简化右边:
\[
e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = 1
\]
### 步骤4：将左边写成导数形式
注意到左边可以写成 $e^x y$ 的导数:
\[
\frac{d}{dx}(e^x y) = e^x \frac{dy}{dx} + e^x y
\]
所以方程变为:
\[
\frac{d}{dx}(e^x y) = 1
\]
### 步骤5：积分两边
对两边关于 $x$ 积分:
\[
\int \frac{d}{dx}(e^x y) \, dx = \int 1 \, dx
\]
这简化为:
\[
e^x y = x + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。
### 步骤6：解出 $y$
将 $y$ 隔离出来:
\[
y = e^{-x}(x + C)
\]
### 最终答案
一阶线性微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 的通解为:
\[
\boxed{y = e^{-x}(x + C)}
\]
解析
步骤 1：识别方程形式
给定的方程是:
\[ \frac{dy}{dx} + y = e^{-x} \]
这是一阶线性微分方程，可以写成标准形式:
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]
其中 $P(x) = 1$ 和 $Q(x) = e^{-x}$。
步骤 2：计算积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出:
\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \]
代入 $P(x) = 1$，我们得到:
\[ \mu(x) = e^{\int 1 \, dx} = e^x \]
步骤 3：将方程乘以积分因子
将原方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 两边乘以 $\mu(x) = e^x$:
\[ e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x e^{-x} \]
简化右边:
\[ e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = 1 \]
步骤 4：将左边写成导数形式
注意到左边可以写成 $e^x y$ 的导数:
\[ \frac{d}{dx}(e^x y) = e^x \frac{dy}{dx} + e^x y \]
所以方程变为:
\[ \frac{d}{dx}(e^x y) = 1 \]
步骤 5：积分两边
对两边关于 $x$ 积分:
\[ \int \frac{d}{dx}(e^x y) \, dx = \int 1 \, dx \]
这简化为:
\[ e^x y = x + C \]
其中 $C$ 是积分常数。
步骤 6：解出 $y$
将 $y$ 隔离出来:
\[ y = e^{-x}(x + C) \]
给定的方程是:
\[ \frac{dy}{dx} + y = e^{-x} \]
这是一阶线性微分方程，可以写成标准形式:
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]
其中 $P(x) = 1$ 和 $Q(x) = e^{-x}$。
步骤 2：计算积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出:
\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \]
代入 $P(x) = 1$，我们得到:
\[ \mu(x) = e^{\int 1 \, dx} = e^x \]
步骤 3：将方程乘以积分因子
将原方程 $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 两边乘以 $\mu(x) = e^x$:
\[ e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x e^{-x} \]
简化右边:
\[ e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = 1 \]
步骤 4：将左边写成导数形式
注意到左边可以写成 $e^x y$ 的导数:
\[ \frac{d}{dx}(e^x y) = e^x \frac{dy}{dx} + e^x y \]
所以方程变为:
\[ \frac{d}{dx}(e^x y) = 1 \]
步骤 5：积分两边
对两边关于 $x$ 积分:
\[ \int \frac{d}{dx}(e^x y) \, dx = \int 1 \, dx \]
这简化为:
\[ e^x y = x + C \]
其中 $C$ 是积分常数。
步骤 6：解出 $y$
将 $y$ 隔离出来:
\[ y = e^{-x}(x + C) \]