题目
求指导本题解题过程，谢谢您！10.L为椭圆 dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(3)=1, 取逆时针方向,计算曲线积分 dfrac (ydx-xdy)(3{x)^2+4(y)^2} 得 () .-|||-OA. -3pi -|||-OB. dfrac (1)(3)pi -|||-○C.π-|||-OD. -2pi
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定椭圆方程
椭圆方程为 $\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$，其中 $a^2=4$，$b^2=3$，因此 $a=2$，$b=\sqrt{3}$。
步骤 2：计算 $3{x}^{2}+4{y}^{2}$
根据椭圆方程，$3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$。
步骤 3：计算曲线积分
原式 $\dfrac{ydx-xdy}{3{x}^{2}+4{y}^{2}}$ 可以简化为 $\dfrac{ydx-xdy}{12}$。由于 $3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$，所以原式可以写为 $\dfrac{1}{12}(ydx-xdy)$。根据格林公式，$\oint_{L} (ydx-xdy) = 2\pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。因此，原式可以写为 $\dfrac{1}{12} \cdot 2\pi ab$。
步骤 4：计算最终结果
将 $a=2$ 和 $b=\sqrt{3}$ 代入，得到 $\dfrac{1}{12} \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \dfrac{\pi \sqrt{3}}{3}$。由于题目中椭圆的方向是逆时针，所以结果为负值，即 $-\dfrac{\pi \sqrt{3}}{3}$。
椭圆方程为 $\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$，其中 $a^2=4$，$b^2=3$，因此 $a=2$，$b=\sqrt{3}$。
步骤 2：计算 $3{x}^{2}+4{y}^{2}$
根据椭圆方程，$3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$。
步骤 3：计算曲线积分
原式 $\dfrac{ydx-xdy}{3{x}^{2}+4{y}^{2}}$ 可以简化为 $\dfrac{ydx-xdy}{12}$。由于 $3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$，所以原式可以写为 $\dfrac{1}{12}(ydx-xdy)$。根据格林公式，$\oint_{L} (ydx-xdy) = 2\pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。因此，原式可以写为 $\dfrac{1}{12} \cdot 2\pi ab$。
步骤 4：计算最终结果
将 $a=2$ 和 $b=\sqrt{3}$ 代入，得到 $\dfrac{1}{12} \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \dfrac{\pi \sqrt{3}}{3}$。由于题目中椭圆的方向是逆时针，所以结果为负值，即 $-\dfrac{\pi \sqrt{3}}{3}$。