函数的极大值不一定比极小值大.( )A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查对函数极值概念的理解，特别是极大值与极小值之间的相对大小关系。

解题核心思路：
极值的定义是局部性质，极大值仅在其邻域内最大，极小值仅在其邻域内最小。不同极值点的函数值之间没有必然的大小关系，因此极大值可能大于、等于或小于某个极小值。

破题关键点：
通过构造反例（如函数$f(x) = -x^3 + 3x$），直观展示存在极大值小于极小值的情况，从而证明原命题正确。

步骤1：理解极值的定义

• 极大值：若函数在点$x_0$处的值$f(x_0)$大于其邻域内所有点的函数值，则称$f(x_0)$为极大值。
• 极小值：若函数在点$x_0$处的值$f(x_0)$小于其邻域内所有点的函数值，则称$f(x_0)$为极小值。

步骤2：构造反例
考虑函数$f(x) = -x^3 + 3x$：

1. 求导得$f'(x) = -3x^2 + 3$，令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。
2. 判断极值类型：
   • 当$x = -1$时，导数由正变负，故$f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = -2$为极大值。
   • 当$x = 1$时，导数由负变正，故$f(1) = -1^3 + 3(1) = 2$为极小值。
3. 比较极值大小：极大值$-2$小于极小值$2$，说明极大值不一定比极小值大。

结论：原命题正确，答案为A。