2.求微分方程 ((e)^x+y-(e)^x)dx+((e)^x+y+(e)^y)dy=0 的通解.-|||-A. ((e)^x+1)((e)^y-1)=c B ((e)^x-1)((e)^y+1)=c-|||-c. ((e)^-x+1)((e)^y-1)=c D. ((e)^x+1)((e)^y+1)=c

步骤 1：将微分方程重写为可分离变量的形式
原方程为 $({e}^{x+y}-{e}^{x})dx+({e}^{x+y}+{e}^{y})dy=0$，可以重写为：
$({e}^{x+y}-{e}^{x})dx=-({e}^{x+y}+{e}^{y})dy$
步骤 2：分离变量
将方程两边同时除以 $({e}^{x+y}-{e}^{x})({e}^{x+y}+{e}^{y})$，得到：
$\frac{dx}{{e}^{x+y}+{e}^{y}}=-\frac{dy}{{e}^{x+y}-{e}^{x}}$
步骤 3：积分
对两边分别积分，得到：
$\int \frac{dx}{{e}^{x+y}+{e}^{y}}=-\int \frac{dy}{{e}^{x+y}-{e}^{x}}$
步骤 4：求解积分
左边积分可化为：
$\int \frac{dx}{{e}^{x+y}+{e}^{y}}=\int \frac{dx}{{e}^{y}({e}^{x}+1)}=\frac{1}{{e}^{y}}\int \frac{dx}{{e}^{x}+1}$
右边积分可化为：
$-\int \frac{dy}{{e}^{x+y}-{e}^{x}}=-\int \frac{dy}{{e}^{x}({e}^{y}-1)}=-\frac{1}{{e}^{x}}\int \frac{dy}{{e}^{y}-1}$
步骤 5：求解不定积分
左边不定积分：
$\frac{1}{{e}^{y}}\int \frac{dx}{{e}^{x}+1}=\frac{1}{{e}^{y}}\ln|{e}^{x}+1|+C_1$
右边不定积分：
$-\frac{1}{{e}^{x}}\int \frac{dy}{{e}^{y}-1}=-\frac{1}{{e}^{x}}\ln|{e}^{y}-1|+C_2$
步骤 6：合并常数
将两边合并，得到：
$\frac{1}{{e}^{y}}\ln|{e}^{x}+1|=-\frac{1}{{e}^{x}}\ln|{e}^{y}-1|+C$
步骤 7：化简
将上式两边同时乘以 ${e}^{x+y}$，得到：
$\ln|{e}^{x}+1|=-\ln|{e}^{y}-1|+C{e}^{x+y}$
步骤 8：化简为通解
将上式化简为：
$\ln|{e}^{x}+1|+\ln|{e}^{y}-1|=C{e}^{x+y}$
即：
$\ln|({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)|=C{e}^{x+y}$
步骤 9：化简为最终形式
将上式化简为：
$({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)=C$